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By Walter Gubler

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Die Aquivalenzklasse von (a, b) bezeichnen wir wie gewohnt mit ab . Durch die Verkn¨ upfungen a c ad + bc + := b d bd a c a·c · := b d b·d ¨ wird der Raum der Aquivalenzklasse zu einem Ring, den wir mit Quot(R) bezeichnen. Als Einselement haben wir aa = 11 = 1. Man zeigt leicht, dass Quot(R) ein K¨ orper ist. Wir nennen Quot(R) deshalb den Quotientenk¨ orper von R. Wir haben einen nat¨ urlichen injektiven Ringhomomorphismus (siehe unten f¨ ur die Definition) i : R −→ Quot(R), a→ a . 1 Damit identifizieren wir R mit dem Teilring i(R) von Quot(R).

Die Primbedingung ist Aufgabe 25. 10 die Eindeutigkeit. 12. Beachte, dass | auf M/ ∼ eine partielle Ordnung definiert. Zur Erinnerung: Partielle Ordnung ⇐⇒ reflexiv, transitiv , antisymmetrisch. Falls es ein a|a a|b,b|c⇒a|c a|b,b|a⇒a=b gr¨osstes Element c bzgl. | under den gemeinsamen Teilern von a und b gibt, dann heißt c der gr¨ osste gemeinsame Teiler von a und b. Genauer gesagt ist c ∈ M genau dann der gr¨ osste gemeinsame Teiler von a und b, wenn 46 KAPITEL 2. RINGTHEORIE (i) c | a und c | b; (ii) falls d | a und d | b f¨ ur ein d ∈ M , dann folgt d | c.

A0 mit aj := µ(fj ) ∈ R. Weil p an =⇒ p µ(f ) und damit gelten die Voraussetzungen des Theorems auch f¨ ur f . A annehmen, dass f = f und damit µ(f ) = 1. Nach dem 1. 8 gen¨ ugt es zu zeigen, dass f (x) irreduzibel in R[x] ist. Wir argumentieren nun indirekt und nehmen an, dass f (x) nicht irreduzibel in R[x] ist. =⇒ f (x) = g(x) · h(x) mit g(x), h(x) ∈ R[x] und g(x), h(x) ∈ R[x]∗ . Es seien g(x) = bk xk + bk−1 xk−1 + . . + b0 , h(x) = cl xl + . . + c0 mit bk = 0, cl = 0. Wir bemerken zuerst, dass k, l ≥ 1.

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