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By Christoph Schweigert

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CliffsNotes on Golding's Lord of the Flies - download pdf or read online

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Example text

F¨ ur den Induktionsschritt nehmen wir an, dass [Em−1 : K] eine Zweierpotenz ist. Em ist als normale H¨ ulle K¨orpers Km = Km−1 (ωm ) von der Form Em = Km−1 (α1 , . . , αs ) , wobei wir setzen α1 = ωm und mit α2 , . . αs die verschiedenen Konjugierten von ωm u ¨ber Km−1 in einem algebraischen Abschluß C bezeichnen. Nun ist aber αi2 u ¨ber K konjugiert zu ωi2 , was in Em−1 liegt. Da Em−1 u ¨ber K normal ist, folgt auch αi2 ∈ Em−1 . Der K¨orper Em = Em−1 (α1 , . . , αs ) entsteht also durch Adjunktion von Quadratwurzeln.

Auf der linken Seite gilt xLi = 1 f¨ ur alle i ∈ S, auf der rechten Seite gilt xLs = 1, was wegen der Eigenschaft fL/L (xL ) = xL des projektiven Limes ¨aquivalent ist. Da das Urbild unter dem Isomorphismus h von ULS ∩ lim G(L/K) ← genau G(E/LS ) ist, folgt die Aussage. 9. Jede offene Untergruppe einer topologischen Gruppe ist abgeschlossen. Beweis. Sei H ⊆ G eine offene Untergruppe und P ein Repr¨asentantensystem der Nebenklassen von G/H. Da die Translation mit g ∈ G ∼ H → gH h → gh ein topologischer Isomorphismus ist, ist die Untermenge gH von G offen f¨ ur alle g ∈ G.

Also ist G\H = ˙ g∈P g=e gH als disjunkte Vereinigung offener Mengen offen, also ihr Komplement H abgeschlossen. 10 (Hauptsatz der Galoistheorie f¨ ur beliebige Galoiserweiterungen). Sei E/K eine galoische K¨orpererweiterung. Dann ist die Abbildung Z(E/K) −→ U(E/K) von der Menge aller Zwischenk¨orper auf die Menge aller abgeschlossenen Untergruppen der Galoisgruppe G(E/K) F → G(E/F ) 57 eine Bijektion. Die abgeschlossenen Untergruppen G(E/F ) von G(E/K) sind genau dann auch offen, falls die K¨orpererweiterung F/K endlichen Grad hat.

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Algebra II [Lecture notes] by Christoph Schweigert


by Thomas
4.2

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